クイズ

少し前に人から教えてもらったクイズなのですが、飲んでいたときだったので、僕の頭が全然回っていなかったのか、それともその人が条件等を間違えていたのか、なんだか全然解けず。しかし先日たまたまネットで目にしてみれば、なぁんだ、という感じでした。

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死刑囚四人がこの絵のような状況で立っているとき、予め知らされていない自分の帽子の色を言い当てられるのは誰か?というクイズです。

ルールを要約すると、

  1. 帽子の数は赤2、白2。四人はそのことと、四人の位置関係を把握済。
  2. 自分よりも前に居る人間の帽子の色だけ見ることができる。当然AとDは誰の帽子の色も見えない。
  3. 振り返るなど、少しでも動いたら即射殺。勿論「お前、赤だよ」とか教えたり、余計なこと喋っても即射殺。
  4. 誰か一人が自分の帽子の色を言い当てたら全員釈放。間違えたら全員射殺。

以上です。勿論、四人の間で事前相談などの時間はありません。どうでしょうか。ちょっと考えてみて下さい。

 

 
 
 
 

 

解答編

さて、解答編。

自分の帽子の色を答えられるのは、Bです。

まず、最も情報量が多いのはCです。それは全員把握していることでしょう。しかし、この絵の状況のとき、Cは口火を切ることができません。当然です。目の前の二人の帽子の色がそれぞれ異なるので、自分の帽子の色は依然、赤か白か1/2ずつの可能性があるからです。

しかし、そのこと、つまりCが黙っている、ということが一つの情報となります。つまり「AとBの帽子の色は異なる」ということを、Cは黙することによって、他の三人に伝えていることになります。よって、Cの次に情報を持っているBが、Cの沈黙に基づいて、目の前のAと違う色を自分の色として答えることができる、というわけです。

ちょっと改変

さて、これだとちょっと簡単なので、少しだけ複雑にしてみます。

  • Aのみ振り返ることを許される(Dもそれは承知済)。
  • 先着一名のみ、自分の帽子の色を「宣言」することができる。その「宣言」は全員が聞くことができるが、誰が発したのかは分からず、真偽判定も行われない。
  • その後、四人全員が同時に自分の帽子の色を回答する。全員が正解すれば全員釈放。一人でも不正解だと全員射殺。

以上です。果たして四人は正解することができるでしょうか。四人それぞれの気持ちになって、それぞれの思考経路を考えてみて下さい。

 

 
 
 
 

 

解答編2

では解答です。

勿論、四人は正解することができます。実は今回に関しては、異なる色配置、つまりAとBが同色であったり、BとCが同色であったり、という配置の可能性も考える必要があります。最終的に全員が正解しなければならないからです。

では、実際に四人の気持ちになってみましょう。

Aの場合

まず、当初の絵のような色配置であれば「白!」という「宣言」を聞くことになります。ルール上「宣言」の出処は明らかにされませんが、Dが「宣言」をすることは合理的にはあり得ませんし、Aには、Bが白で、Cが赤なのが見えていますから、Bによる「宣言」であると考えられます。とすれば、Bが「宣言」したということは、Cは「宣言」できなかったことを意味し、それはBとAの色が異なることを意味します。それによりAは「宣言」と異なる色、つまり「赤」を回答することができます。

次に、BとCが同色であれば、迷うことなく彼は「宣言」をすることができますし、むしろ速やかに「宣言」をしなければなりません。前段のゲームにおけるBのように『「宣言」をしないこと』を情報として受け取られる可能性があるためです。そして、その「宣言」後は問題なく全員が正解可能です(後述)。

さらに、AとBが同色の場合、Aの目からはBとCが異なる色のため、「宣言」はできません。しかし、即座にCから「宣言」が出されることになります。これも例によって、Cによる「宣言」であると推察できます。Cによって「宣言」が出されること即ち、AとBが同色であるということですから、目の前のBの色を回答すれば正解です。

まとめると、Aの戦略としては、目の前の二人が同色なら自分がすぐに「宣言」、そうでないならBかCによって出された「宣言」の逆の色を回答すれば正解、となります。

Bの場合

当初の絵のような色配置であれば、前段のゲームのようにCは、またAも、沈黙し、「宣言」は出されません。そうなればまた同様に、Bは目の前のCと異なる色、白を「宣言」することになります。

また、BとC、或いはAとBが同色である場合、前者のケースならAから、後者ならCから「宣言」が出されます。いずれにせよこの「宣言」は、Bともう一人が同色であることを見て、それと異なる色を「宣言」したもののため、Bとしては逆に「宣言」と異なる色を回答することで正解可能です。

Cの場合

CはAとほぼシンメトリーの状況にありますので割愛します。AとBが同色ならば「宣言」し、「宣言」が他から出されればその逆の色を回答すれば正解です。

Dの場合

視覚的情報を全く持たない彼が当然一番難しいように思えますが、実は場合分けをすれば確実に正解することが可能です。彼の場合は当然ながら「宣言」から判断することになります。

まずAやCが「宣言」をしたとすれば、BとC、或いはAとBが同色であり、それを見たA或いはCが、目の前の二人と異なる色を「宣言」したことになります。そのためDは「宣言」されたのと同色を回答すれば正解です。

では「宣言」がBによるものであったとすれば、逆にAやCは「宣言」ができなかったことを意味し、AとB、或いはBとCが同色という可能性は排除されます。即ちAとCが同色、BとDが同色であることが判明します。よってDはやはり「宣言」されたのと同色を回答することになります。

つまり、Dはただ単に「宣言」されたのと同色を回答すれば正解できてしまうというわけです。

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いかがでしたでしょうか。難易度はやはり元の問題から上がっていますね。元の問題においては、他者の視点を想像しなければならないのは、基本的にはBだけでしたが、この改変後の問題においては四人全員がB並み、或いはそれ以上の想像力を働かせねばなりません。全員が合理的判断を行うことで正解は可能ですが、現実にコレを行ったら生存率はあまり高くないかもしれません。

さらに改変していくと……

では、更に改変し、そもそもの設定を死刑囚でなく単なるゲーム参加者としたらどうなるでしょう。正解者に与えられるのは「釈放」でなく「賞金」。正解者たちで100万円を山分け、となったらどうでしょう。まず起こるのは「宣言」がされなくなることです。「宣言」は左側にいるDに情報を与えるだけだからです。山分けにする以上、正解者はなるべく少なくしたいところです。となると、単純にAとBが同色だったときのC、或いはBとCが同色だったときのAが、有利となります。従来のように「宣言」がされなかったとしても、それが戦略的に「宣言」を行われなかったという可能性があるため、Bがそこから情報を受け取ることができないからです。

しかし、或いは虚偽の「宣言」が戦略として取り入れられるかもしれません。虚偽の「宣言」をすることで確実にDを不正解させることができるからです。が、あくまでそれはDがそれを信じるならば、という前提付きなので、Dが合理的参加者である限り、そこは裏を読み合う心理戦にしかなりません。

では、正しい「宣言」を行った参加者には、あとでボーナス10万円が与えられるとなれば。恐らくこの場合は早押し「宣言」合戦です。自分の帽子の色がたとえ分からなくても、1/2の確率で10万円が手に入るため、期待値は5万円です。四人全員が我先にと「宣言」権を取り合う展開になります。「宣言」の情報価値は更に低くなり、というか殆どゼロになってしまいます。

信頼が失われるとゲームは陳腐になる

そもそものルールにおいて合理的選択が成り立ったのは、このゲームが四人の信頼関係を元にした共同作業であったからです。信頼という言葉だとキレイすぎるかもしれません。なにしろ、ヘタなことを言ったら即全員射殺ですから、人間関係というよりもそのルールの元に成り立っているかりそめの信頼でしかありません。しかしそれでも、元の問題においては、AやDにはただ他の囚人に運命を任せる勇気が求められ、BとCはお互いの合理的判断を信じなければなりませんし、僕の改変版にいたっては、全員が全員の合理的判断能力を信じなければなりません。

その信頼が失われ、「相手を出し抜く」という概念が、構造の中に生まれることによって、このゲームは単に相手の裏の裏の裏の裏をかき続けるような陳腐なゲームになってしまいました。これは、個人的には、とある数百人規模で行われたアナログゲームに参加した際に考えさせられたことでもあります。もっとも、そのゲームに関しては構造の中に「相手を出し抜く」という概念が組み込まれていることこそが罠であり、それを自ら取り除くということが正解であったわけですが。

 

…だからなんだ、と言われると困るのですが、こういう思考ゲームって面白いですよね。というだけの話でした。

お粗末さまでした。

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